2013年行测指导：立体几何问题全攻略

会计考友

　　最近两年的国家公务员考试中，对立体几何问题均有考查，因此掌握立体几何相关知识对于备考是非常重要的。为了防患于未然，专家在此为考生讲解立体几何问题。
　　一、立体图形的表面积和体积

　　例题1：一个长方体模型，所有棱长之和为72，长、宽、高的比是4：3：2，则体积是多少？
　　A．72 B．192 C．128 D．96
　　【解析】：此题答案为B。所有棱长（长、宽、高各4条）之和为72，即长+宽+高=72÷4=18，已知长、宽、高的比是4：3：2，所以长为8、宽为6、高为4，体积=8×6×4=192。
　　例题2：一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个？
　　A．长25厘米、宽17厘米 B．长26厘米、宽14厘米
　　C．长24厘米、宽21厘米 D．长24厘米、宽14厘米
　　【解析】：此题答案为C。该长方体的表面积为2×（20×8+20×2+8×2）=432平方厘米，这张纸的面积一定要大于长方体的表面积，选项中只有C项符合。如图所示，实线部分可折叠得到题中盒子，说明这张纸能将这个盒子完全包裹起来。

　　二、立体图形的切割和拼接问题
　　考试中题目出现的求切割和拼接后的面积、表面积和体积变化问题，遵循以下原则：立体图形切割，则总表面积增加了截面面积的2倍；拼接则总表面积减小了截面面积的2倍。
　　例题：将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是：
　　A．24平方米 B．30平方米 C．36平方米 D．42平方米
　　【解析】：此题答案为D。正方体每个面的面积为36÷6=6平方米。
　　将正方体平分以后，表面积增加6×2=12平方米；拼成大长方体后，表面积减少2×（6÷2）=6平方米，因此大长方体的表面积为36+12-6=42平方米。
　　快速突破：在切割和拼接过程中，体积不变。根据体积一定，越趋近于球，表面积越小，可知大长方体的表面积大于36平方米，只有D项符合。
　　三、物体浸水问题
　　物体浸入水中，水面会上升，水的总体积不变，因此水的变化高度=浸没体积÷容器底面积（行测考试中容器一般为规则立体图形）即物体浸入前后，水的体积变化等于该物体浸入水中的体积。
　　例题：现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中。如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为：
　　A．3.4平方米 B．9.6平方米 C．13.6平方米 D．16平方米
　　【解析】：此题答案为C。边长为1米的正方体可以分割成1÷（0.25）3=64个边长为0.25米的小正方体。
　　如果把边长1米的木质正方体放入水里，与水直接接触的表面积为1×1+0.6×1×4=3.4平方米。
　　由于小立方体浸入水中的总体积与正方体相同，所以每个小正方体浸入水中的比例与立方体相同。因为小正方体的边长是正方体的1/4，所以其与水直接接触的面积是大正方体的1/16，其总共与水直接接触的总面积为64×3.4×1/16=3.4×4=13.6平方米。
　　四、立方体染色问题
　
　　假设将一个立方体切割成边长为原来的1 / n的小立方体，在表面染色，则
　　（1）三个面被染色的是8个顶角的小立方体；
　　（2）两个面被染色的是12（n-2）个在棱上的小正方体；
　　（3）只有一个面被染色的是6（n-2）2个位于外表面中央的小正方体。
　　（4）都没被染色的是（n-2）3个不在表面的小立方体。
　　例题：一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？
　　A.296　　 B.324 　　C.328　　 D.384
　　【解析】：此题答案为A。边长为8的正立方体共有8×8×8=512个边长为1的小正立方体，不在表面的小正立方体共有6×6×6=216个，所以被染色的小正方体的个数为512-216=296。
　　五、异面直线所成角

　　
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